从函数的微分的表达式
$$\mathrm { d } y = f ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x$$
可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自变量的微分.因此，可得如下的微分公式和微分运算法则.
1.基本初等函数的微分公式
由基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式.为了便于对照，列表于下：
2.函数和、差、积、商的微分法则
由函数和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则.为了便于对照，列成下表（表中u=u（x），v=v（x）都可导）.
再根据乘积的求导法则，有
$$( u v ) ^ { \prime } = u ^ { \prime } v + u v ^ { \prime }$$
现在我们以乘积的微分法则为例加以证明.
根据函数微分的表达式，有
$$\mathrm { d } ( u v ) = ( u v ) ^ { \prime } \mathrm { d } x$$
于是: $\mathrm { d } ( u v ) = \left( u ^ { \prime } v + u v ^ { \prime } \right) \mathrm { d } x = u ^ { \prime } v \mathrm { d } x + u v ^ { \prime } \mathrm { d } x$
由于: $u ^ { \prime } \mathrm { d } x = \mathrm { d } u , \quad v ^ { \prime } \mathrm { d } x = \mathrm { d } v$
所以: $\mathrm { d } ( u v ) = v \mathrm { d } u + u \mathrm { d } v$
其他法则都可以用类似方法证明。
3.复合函数的微分法则
与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下：
设 $y=f(u)$及$u=g(x)$都可导，则复合函数$y = f [ g ( x ) ]$的微分为
$$\mathrm { d } y = y _ { x } ^ { \prime } \mathrm { d } x = f ^ { \prime } ( u ) g ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x$$
由于$g’(x)dx=du$，所以，复合函数$y=f[g(x)]$微分公式也可以写成
$\mathrm { d } y = f ^ { \prime } ( u ) \mathrm { d } u$ 或 $\mathrm { d } y = y ^ { \prime } _ { u } \mathrm { d } u$
由此可见，无论$u$是自变量还是中间变量，微分形式$dy=f’(u)du$保持不变.这一性质称为微分形式不变性.这性质表示，当变换自变量时，微分形式$dy=f’(u)du$并不改变.
参考：
《高等数学》同济六版 -> P116
