微分的几何意义
为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义.
在直角坐标系中，函数$y=f(x)$的图形是一条曲线.对于某一固定的$x_0$值，曲线上有一个确定点$M(x_0，y_0)$，当自变量 x 有微小增量$\Delta x$时，就得到曲线上另一点$N \left( x _ { 0 } + \Delta x , y _ { 0 } + \Delta y \right)$。从图2-11可知：
$$MQ = \Delta x$$
$$QN = \Delta y$$
过点M作曲线的切线MT，它的倾角为，$\alpha$则
$$Q P = M Q \cdot \tan \alpha = \Delta x \cdot f ^ { \prime } \left( x _ { 0 } \right)$$
即
$$\mathrm { d } y = Q P$$
由此可见，对于可微函数 $y = f ( x )$ 而言，当 $\Delta y$是曲线$y = f ( x )$上的点的纵坐标的增量时，$dy$就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量.当$| \Delta x |$很小时，$| \Delta y - d y | 比 | \Delta x |$小得多、因此在点 M 的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段.在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数，在几何上就是局部用切线段近似代替曲线段，这在数学上称为非线性函数的局部线性化，这是微分学的基本思想方法之一.这种思想方法在自然科学和工程问题的研究中是经常采用的.
参考：
《高等数学》同济六版 -> P115
